Математическая грамотность: задачи из жизни, а не из учебника

Определение, из которого всё следует

PISA определяет математическую грамотность как способность формулировать, применять и интерпретировать математику в разнообразных контекстах. Три глагола идут именно в таком порядке, и это не случайно. Формулировать — перевести житейскую ситуацию в математическую задачу. Применять — посчитать. Интерпретировать — вернуть результат обратно в ситуацию и понять, осмыслен ли он.

Наша школа очень хорошо тренирует средний глагол и почти не тренирует крайние. Ученику дают готовую математическую формулировку, он её решает, ответ сверяется с ключом. Первый и третий шаг за него сделал автор учебника. Поэтому ребёнок, уверенно решающий уравнение, зависает над вопросом «хватит ли двадцати литров краски», и дело тут не в арифметике.

Признаки задачи, которая правда работает

Я перебрал десятки сборников «практико-ориентированных задач» и убедился: половина из них — обычные текстовые задачи, которым приделали ценник. Отличить настоящую от подделки можно по четырём признакам.

Третья строка самая важная и самая непривычная. Вопрос «сколько нужно автобусов, чтобы вывезти 130 человек, если в автобусе 45 мест» имеет ответ 3, а не 2,89, и ученик должен объяснить, почему округляет вверх. Именно в этом месте математика встречается с реальностью, и именно это место в школьных задачах чаще всего срезано.

Как переделать задание из учебника за две минуты

1. Убрать вопрос

   Даёте только ситуацию с числами. Дети формулируют, что тут можно спросить. Половина класса впервые обнаруживает, что вопрос — это чей-то выбор, а не данность.

2. Добавить лишнее число

   Одна цифра, которая не нужна для ответа. Задание: сначала вычеркнуть лишнее и объяснить почему, потом решать. Работает с 5 класса.

3. Убрать нужное число

   Правильный ответ звучит как «не хватает вот этого». Первые разы класс упорно что-нибудь выдумывает, и это самое ценное наблюдение за всю тему.

4. Заменить контекст на местный

   Не абстрактный поезд, а маршрутка от школы до вокзала, не абстрактный магазин, а тот, что напротив. Вовлечённость растёт мгновенно, а работы это не добавляет.

5. Попросить оценить ответ

   «Похоже ли это на правду?» Ученик, получивший 47 автобусов или отрицательный возраст, обязан заметить это сам. Этот шаг делает из вычисления математику.

Пятый шаг стоит превратить в правило класса, которое действует и на контрольных. Оценка правдоподобия ответа — навык, который переносится куда угодно, и в отличие от многого другого он вырабатывается быстро: месяца регулярных «похоже ли на правду» обычно хватает.

Три вещи, которые ломаются чаще всего

Если разбирать провалы по темам, картина повторяется из класса в класс. Проценты, доли и пропорции. Чтение графиков и таблиц. Оценка и прикидка без калькулятора. Причём проваливаются они не потому, что тема сложная, а потому что тренируются в стерильном виде.

• Проценты. Ученик умеет находить 15% от числа, но не понимает, что скидка 20%, а потом ещё 20% — это не 40%. Лечится не формулой, а десятком реальных ценников подряд.
• Графики. Умеет строить, не умеет читать. Спросите, что происходило между третьей и пятой точкой, и что означает, что линия пошла вниз. Ответ «функция убывает» не считается.
• Прикидка. Умение сказать «примерно двести» без вычислений почти не тренируется, а в жизни используется чаще точного счёта. Приёмы устного счёта и прикидки я собирал в материале про счёт в уме.
• Единицы измерения. Кубометр, киловатт-час, литр на сто километров. Ученик считает верно и получает бессмысленное число, потому что не представляет величину.
• Вероятность на бытовом уровне. «Шанс один к пяти» и «20%» для многих не одно и то же. Разбирается за один урок на игральных кубиках и лотерейных билетах.

Где брать материал, если не хочется сочинять

Сочинять действительно долго, и это главная причина, по которой хорошая идея умирает в октябре. Три источника, которыми пользуюсь я. Открытый банк заданий ФГБНУ «ИСРО» для 5–9 классов: там есть и сами задания, и методические комментарии с указанием, какое умение проверяется. Реальные документы вокруг вас: квитанция ЖКХ, чек из магазина, расписание автобуса, тариф мобильного оператора, этикетка. И задания открытых вариантов ОГЭ, вторая часть первой страницы, где идут задачи про план участка и печку.

Последний источник недооценён. Задания про садовый участок и тарифы в ОГЭ по математике — это и есть математическая грамотность в чистом виде, только в экзаменационной упаковке. Разбирать их можно с 6 класса, задолго до подготовки к экзамену, и тогда в 9 классе они не вызывают паники. Как встроить это в годовой план, разбирал в материале про подготовку к ОГЭ.

Формат, который держит внимание

Задачи с открытым ответом плохо переносят фронтальный разбор: сильные отвечают, остальные ждут. Я почти всегда даю их в паре или в тройке с обязательным условием — назвать вслух своё допущение. Спор внутри пары о том, округлять вверх или вниз, стоит дороже, чем моё объяснение с доски.

Второй рабочий формат — короткий раунд на скорость по прикидке. Пять вопросов вида «сколько примерно», ответ пишется на листке, точность не требуется, требуется порядок величины. Это единственный известный мне способ заставить весь класс считать в уме одновременно. Игровые механики под такие раунды я разбирал в подборке игр на уроке математики и в материале про квиз на уроке.

Как оценивать

Ключевой принцип: оценивается рассуждение, а не совпадение с ответом. Ученик, который принял разумное допущение и последовательно из него вывел ответ, отличный от моего, работу выполнил. Ученик, угадавший число без обоснования, не выполнил. Это надо объявить до, а не после, иначе первый же разбор превратится в скандал.

На практике я использую три уровня: перевёл ситуацию в математику, посчитал, вернул результат в ситуацию и проверил на правдоподобие. Три галочки вместо отметки. Такая обратная связь понятнее и ребёнку, и родителю, а как объяснять её дома, есть отдельный разбор для семей про помощь с математикой.

Сюжеты, которые заходят в любом классе

Придумывать контекст с нуля тяжело, а список рабочих сюжетов на самом деле конечен и повторяется из года в год. Вот те, что у меня не проваливались ни разу, от пятого класса до одиннадцатого. Меняется не сюжет, а глубина: в пятом считаем сумму, в одиннадцатом сравниваем два сценария с процентами.

• Деньги на руках. Есть сумма и список цен, надо решить, что купить и хватит ли. Работает с пятого класса и в одиннадцатом тоже, если добавить скидки, рассрочку и кэшбэк.
• Время и опоздание. Расписание, дорога, пересадка. Вопрос всегда один: успеет или нет и с каким запасом. Отлично тренирует прикидку и чтение несплошного текста.
• Ремонт и материалы. Сколько рулонов обоев, плитки, краски. Здесь неизбежно всплывают округление вверх и запас, то есть выход математики обратно в реальность.
• Тарифы и подписки. Два тарифа, надо выбрать. Задача, у которой ответ звучит как «зависит от того, сколько вы говорите», — лучшее, что можно дать подростку.
• Питание и дозировка. Калории, состав на этикетке, доза лекарства по весу. Работает на биологии не хуже, чем на математике.
• Статистика в новостях. Заголовок «продажи выросли на 200%» — на сколько именно и от какой базы. Один заголовок даёт целый урок.

Такие сюжеты я держу в отдельной заметке и пополняю по мере того, как что-то попадается в жизни. За год набирается полсотни, и они не устаревают, в отличие от готовых сборников с ценами десятилетней давности. Игровую обёртку для раунда из таких задач проще всего собрать по схеме из материала про «Свою игру» для школы.

Как это связано с ВПР и ОГЭ

Практико-ориентированные задания давно перестали быть экзотикой в контрольных процедурах. В ВПР по математике они присутствуют на всех параллелях, в ОГЭ занимают отдельный блок в начале первой части, где идут задачи про план участка, тарифы и печное отопление. То есть работа над математической грамотностью не отвлекает от подготовки к экзамену: она и есть подготовка, только с большим сроком годности.

Практический ход, который я советую: не выделять «задачи из жизни» в отдельный вид работы и не объявлять жанр. Пусть они появляются вперемешку с обычными. Как только ученик понимает, что сейчас будет задача про жизнь, он включает режим угадывания ожидаемого ответа, и весь эффект теряется. Тот же механизм срабатывает при натаскивании на формат, о чём подробно в разборе подготовки к ВПР.

И последнее про темп. Одна такая задача в неделю на класс — нормальная норма, которая выдерживается весь год. Пять задач в неделю в течение месяца перед проверочной работой не выдерживается никем и даёт заметно меньше, потому что умение переносить способ на новый контекст растёт медленно и равномерно, а не рывками.

Есть ещё один эффект, о котором редко говорят. Задачи с реальным контекстом заметно меняют состав отвечающих. На абстрактном примере руку тянут те же четверо, а на вопросе про очередь в столовой или про то, какой тариф выгоднее, включаются дети, которые математику считали не своим делом. Это не превращает их в сильных учеников за месяц, но возвращает им право участвовать в разговоре, а без этого права никакое обучение не начинается.

Поэтому первую такую задачу я почти всегда даю без записи в тетрадь, устно, на обсуждение в парах. Отсутствие письменной фиксации снимает страх ошибиться, и класс говорит. Через две-три недели, когда привычка обсуждать появилась, можно переводить в письменную форму, и она уже не воспринимается как контрольная.